Session de rattrapage 2017

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Partie 1

Soit `g` la fonction définie sur `R` par ` g(x)= 1-(x+1)^2e^x `

1) Vérifier que ` g(0)= 0 `

2) à partir du graphe de la fonction `g` , montrer que pour tout ` x in ]-infty , 0] : g(x) >= 0 ` et pour tout ` x in [0,+infty[ : g(x) <= 0 `





Partie 2

On considère la fonction `f` définie sur `R` par ` f(x)= x+1 -(x^2+1)e^x ` et soit `C_f` sa courbe dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j) ) ` unité ` 2cm`

1a) Vérifier que pour tout ` x in R : f(x)= x+1 -4(x/2e^(x/2))^2 -e^x ` , puis en déduire que `lim_{ x to -infty} f(x)= -infty `

b) Calculer `lim_{ x to -infty} [ f(x) -(x+1)]` et en déduire que la droite `(D) : y =x+1` est une asymptote oblique de `C_f` au voisinage de `-infty `

c) Montrer que `C_f` est en dessous de la droite `(D)`

2a) Montrer que `lim_{ x to +infty} f(x)= -infty ` indication : ` f(x)= x[ 1+1/x -(x+1/x)e^x]`

b) Montrer que la courbe `C_f` admet une branche parabolique au voisinage de `+infty ` dont on déterminera la direction

3a) Montrer que `( forall x in R) : f'(x)= g(x) `

b) Montrer que `f` est décroissante sur `[0,+infty[` et croissante sur `]-infty, 0]` , puis dresser le tableau des variations de `f`

c) Montrer que `C_f` admet deux points d'inflexion d'abscisses ` -1 , -3 `

4) Construire la courbe `C_f` et la droite `(D) `

Partie 3

1) Montrer que la fonction `H : x->(x-1)e^x ` est une primitive de la fonction ` x->xe^x ` sur `R` puis montrer que `int_(-1)^0 xe^x dx = 2/e -1 `

2) Montrer ,à l'aide d'une intégration par parties que `int_(-1)^0 (x^2+1)e^x dx = 3(1-2/e) `

3) Calculer en `cm^2` , l'aire du domaine plan délimité par la courbe `C_f` , la droite `(D) : y =x+1` et les droites d'équations ` x= -1` et ` x= 0 `

Partie 1

Soit `g` la fonction définie sur `R` par ` g(x)= 1-(x+1)^2e^x `

1) Vérifier que ` g(0)= 0 `

On a `g(0)= 1-(0+1)^2e^0 = 1 -1 = 0 `

`=> g(0) = 0 `

2) à partir du graphe de la fonction `g` , montrer que pour tout ` x in ]-infty , 0] : g(x) >= 0 ` et pour tout ` x in [0,+infty[ : g(x) <= 0 `

On a pour tout ` x in ]-infty , 0]` la courbe `C_g` est au dessus de l'axe des abscisses `( y =0 ) `

donc ` forall x in ]-infty , 0] : g(x) >= 0 `

On a pour tout ` x in [0,+infty[ ` la courbe `C_g` est en dessous de l'axe des abscisses `(y = 0) `

donc ` forall x in [0,+infty[ : g(x) <= 0 `

Partie 2

On considère la fonction `f` définie sur `R` par ` f(x)= x+1 -(x^2+1)e^x ` et soit `C_f` sa courbe dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j) `

1a) Vérifier que pour tout ` x in R : f(x)= x+1 -4(x/2e^(x/2)) ^2 -e^x ` , puis en déduire que `lim_{ x to -infty} f(x)= -infty `

Soit ` x in R ` on a ` f(x)= x+1 -(x^2+1)e^x `

` = x+1 -x^2e^x -e^x `

` = (x+1) - 4( x/2 e^(x/2))^2 -e^x `

alors `=> forall x in R : f(x)= (x+1) - 4( x/2 e^(x/2))^2 -e^x `

on a ` lim_{ x to -infty} e^x = 0 ` et ` lim_{ x to -infty} x/2e^(x/2)= lim_{ h to -infty} he^h = 0 `

et ` lim_{ x to -infty} (x+1)= lim_{ x to -infty} x = -infty `

`=> lim_{ x to -infty} f(x)= -infty `